DERIVADAS

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

FORMULA DE LA PENDIENTE

La linea recta que pasa por los dos puntos (P,Q) se llama secante la cual tiene una pendiente o inclinación.

Sabemos que la pendiente se calcula   de modo que el primer punto tiene coordenadas (x, f(a)) y en el segundo (a+h,f(a+h)), si se sustituyen estos valores en la formula de la pendiente 

obtenemos: 

Ahora si en h→0 es notable que se va acercando al punto "a" de la gráfica y la distancia es más pequeña hasta que se vuelve "a" y solo se tocaría un solo punto de la función de modo que ahora si la linea que pasa por ese punto ya no se llama secante si no tangente de una función, es decir, ahora la pendiente se calcula como:

por lo tanto la pendiente de la función recibe el nombre de deriva con respecto de "a"

EJEMPLO:

Calcular la derivada de la función F(x)=2x^2+3x

FORMULAS FUNDAMENTALES DE LA DERIVADA

1. La derivada de una función constante es cero

f(x)=c ⇒ f '(x)=0

2. f(x)=x  ⇒ f '(x)=1

3. f(x)=x^n ⇒ f '(x)=nx^n-1

4. f(x)=c•g(x) ⇒ f '(x)=c•g'(x)

5. derivada de un producto

f(x)=u•v ⇒ f '(x)=u•v'+v•u'

6. derivada de un cociente

f(x)= u/v ⇒ f '(x)= (v•u'-u•v')/ v^2

7. derivada de una suma y  resta

f(x)=u土v, entonces f ' (x)=u'土 v'

8. derivada de una composición o regla de la cadena

f(g(x)) 

f [g(h(x))]

si f(x) y g(x) son funciones derivables entonces (f o g)(x) es derivable de "x"

[f(g(x))=(f o g)(x)= f ' (g(x))• g'(x)

FORMULAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Dx(sen u)=cos u Dx u

2. Dx(cos u)= -sen u Dx u

3. Dx(tan u)= sec^2 u Dx u

4. Dx(cot u)= -csc^2 u Dx u

5. Dx(sec u)= sec u tan u Dx u

6. Dx(csc u)=-csc u cot u Dx u

PUNTO MÁXIMO Y MÍNIMO

Definición 1

Sea f una función cualquiera y A un conjunto de números reales contenido en el dominio de f.

Sea x un punto en "A" se dice que si es un punto máximo de f sobre a, si f(x) es mayor o igual f(y) para toda y que esta en "A" el valor de f(x) recibe el nombre de valor máximo sobre "A" es decir f alcanza en x su valor máximo sobre "A"

Definición 2 

Sea f una función cualquiera y A un conjunto de números reales contenido en el dominio de f, un punto Y esta en A se dice que es un punto mínimo de f sobre A, si y solo sí F(Y)es menor o igual a f(x) para todo x que esta en A.

f(y) recibe el valor mínimo de f.

Punto singular.

se llama punto singular de una función f  a todo número x, tal que f ' de x es igual a 0 y el número de f(x) se conoce como valor singular de una función.

criterio de la primera derivada

Criterio de la segunda derivada

Definición 1

Dada Y igual a f(x) con f'(x)=0, y si f''(x)>0 entonces el punto (x,f(x))representa un punto mínimo.

Definición 2

Dada Y igual a f(x) con f'(x)=0, y si f''(x)>0 entonces el punto (x,f(x))representa un punto máximo.

Ejemplo:

APLICACIÓN DE LA DERIVADA